화폐의 시간 가치

단일 현금흐름, 영구연금, 일반·기초 지급 연금과 성장형 연금의 현재가치와 미래가치를 지급 시점과 성립 조건을 중심으로 정리합니다.

핵심 개념

화폐의 시간 가치(time value of money)는 서로 다른 시점의 현금흐름을 같은 시점의 가치로 환산해 비교하는 원리다. 오늘의 1원은 투자해 수익을 얻을 수 있으므로, 다른 조건이 같다면 미래의 1원보다 가치가 크다.

이 글에서 사용하는 기호는 다음과 같다.

$R=5\%$는 계산할 때 $0.05$로 사용한다. 또한 $C$, $R$, $g$, $n$의 주기는 서로 일치해야 한다. 예를 들어 연 이자율에는 연수, 월 이자율에는 총 개월 수를 대응시킨다.

단일 현금흐름의 현재가치와 미래가치

현재의 단일 금액을 기간마다 같은 이자율로 복리 운용하면 $n$기간 뒤 미래가치는 다음과 같다.

반대로 미래의 단일 금액을 현재 시점으로 할인하면 다음과 같다.

두 식은 같은 관계를 서로 다른 방향에서 표현한다. 미래가치를 구할 때는 복리로 누적하고, 현재가치를 구할 때는 할인한다.

영구연금

영구연금(perpetuity)은 동일한 간격으로 동일한 금액이 영원히 지급되는 현금흐름이다. 첫 현금흐름 $C$가 1기 말에 발생하고 $R>0$이면 현재가치는 다음 무한급수로 표현된다.

양변에 $1/(1+R)$을 곱한 식을 원래 식에서 빼면,

따라서 고정 영구연금의 현재가치는 다음과 같다.

성장형 영구연금

첫 현금흐름이 $C$이고 이후 현금흐름이 매 기간 $g$만큼 성장하면,

이 식에서 $C$는 1기 말에 받는 첫 현금흐름이다. 무한급수가 수렴하려면 반드시 $R>g$여야 하며, $R$과 $g$의 기간 단위도 같아야 한다.

첫 현금흐름 $C$가 1기 말이 아니라 $k$기 말에 발생한다면, $k-1$기 시점의 영구연금 가치를 현재로 다시 할인한다.

$k=1$, $g=0$을 대입하면 $PV=C/R$과 같아진다.

연금

연금(annuity)은 일정 기간 동안 동일한 간격으로 발생하는 현금흐름이다.

기말 지급 연금

각 기말에 동일한 금액 $C$가 총 $n$번 지급되는 일반 연금(ordinary annuity)의 현재가치는 다음과 같다.

$n$기 말 기준 미래가치는 다음과 같다.

기초 지급 연금

각 기초에 지급되는 기초 지급 연금(annuity due)은 기말 지급 연금보다 모든 현금흐름이 한 기간 먼저 발생한다. 따라서 일반 연금의 가치에 $(1+R)$을 곱한다.

성장형 연금

1기 말의 첫 현금흐름이 $C$이고 이후 지급액이 매 기간 $g$만큼 성장하는 기말 지급 연금의 현재가치는 다음과 같다.

$n$기 말 기준 미래가치는 다음과 같다.

$R=g$이면 위 식은 분모가 0이 되어 그대로 사용할 수 없다. 이 경우 각 현금흐름을 직접 합산하면 다음과 같다.

계산할 때 확인할 사항

1. 평가 시점을 먼저 정한다. 현재가치인지 특정 미래 시점의 가치인지 구분한다.
2. 현금흐름의 발생 시점을 확인한다. 기말 지급과 기초 지급은 한 기간의 차이가 있다.
3. 기간 단위를 통일한다. 연·월·분기 단위의 이자율과 기간 수를 섞지 않는다.
4. 성장률의 성립 조건을 확인한다. 성장형 영구연금은 $R>g$일 때만 유한한 현재가치를 가진다.
5. 특수한 입력을 따로 처리한다. $R=0$인 고정 연금은 $PV=FV=nC$이고, 성장형 연금의 $R=g$도 별도 식을 사용한다.

화폐의 시간 가치 공식은 현금흐름을 동일한 시점으로 옮기는 도구다. 공식 자체보다 각 현금흐름이 언제 발생하고, 어떤 주기의 할인율과 성장률을 적용받는지를 먼저 정의해야 올바른 결과를 얻을 수 있다.